Vyriešiť {l}{y=-x}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre y,x

$$x=-2$$

$$y=2$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=0$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=6$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y+x=0$$

Odčítajte hodnotu x od oboch strán rovnice.

$$y=-x$$

Dosaďte -x za y v druhej rovnici y-2x=6.

$$-x-2x=6$$

Prirátajte -x ku -2x.

$$-3x=6$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$x=-2$$

V rovnici y=-x dosaďte x za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=-\left(-2\right)$$

Vynásobte číslo -1 číslom -2.

$$y=2$$

Systém je vyriešený.

$$y=2,x=-2$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=0$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=6$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=2,x=-2$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku x na obidve snímky.

$$y+x=0$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=6$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Odčítajte rovnicu y-2x=6 od rovnice y+x=0 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y+x+2x=-6$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$x+2x=-6$$

Prirátajte x ku 2x.

$$3x=-6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=-2$$

V rovnici y-2x=6 dosaďte x za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Vynásobte číslo -2 číslom -2.

$$y+4=6$$

Odčítajte hodnotu 4 od oboch strán rovnice.

$$y=2$$

Systém je vyriešený.

$$y=2,x=-2$$