Vyriešiť {l}{y=-3x+5}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - 3 x + 5 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Riešenie pre y,x

$$x=1$$

$$y=2$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku 3x na obidve snímky.

$$y+3x=5$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=0$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y+3x=5$$

Odčítajte hodnotu 3x od oboch strán rovnice.

$$y=-3x+5$$

Dosaďte -3x+5 za y v druhej rovnici y-2x=0.

$$-3x+5-2x=0$$

Prirátajte -3x ku -2x.

$$-5x+5=0$$

Odčítajte hodnotu 5 od oboch strán rovnice.

$$-5x=-5$$

Vydeľte obe strany hodnotou -5.

$$x=1$$

V rovnici y=-3x+5 dosaďte x za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=-3+5$$

Prirátajte 5 ku -3.

$$y=2$$

Systém je vyriešený.

$$y=2,x=1$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku 3x na obidve snímky.

$$y+3x=5$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=0$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{3}{-2-3}\\-\frac{1}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=2,x=1$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Pridať položku 3x na obidve snímky.

$$y+3x=5$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 2x z oboch strán.

$$y-2x=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y+3x=5,y-2x=0$$

Odčítajte rovnicu y-2x=0 od rovnice y+3x=5 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y+3x+2x=5$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$3x+2x=5$$

Prirátajte 3x ku 2x.

$$5x=5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x=1$$

V rovnici y-2x=0 dosaďte x za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y-2=0$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$y=2$$

Systém je vyriešený.

$$y=2,x=1$$