Vyriešiť {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=10$$

$$y=7$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-3-y=0$$

Pridať položku 3 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$x-y=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$37-3x-y=0$$

Odčítajte 37 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$-3x-y=-37$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x-y=3$$

Prirátajte y ku obom stranám rovnice.

$$x=y+3$$

Dosaďte y+3 za x v druhej rovnici -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Vynásobte číslo -3 číslom y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Prirátajte -3y ku -y.

$$-4y-9=-37$$

Prirátajte 9 ku obom stranám rovnice.

$$-4y=-28$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$y=7$$

V rovnici x=y+3 dosaďte y za premennú 7. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=7+3$$

Prirátajte 3 ku 7.

$$x=10$$

Systém je vyriešený.

$$x=10,y=7$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-3-y=0$$

Pridať položku 3 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$x-y=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$37-3x-y=0$$

Odčítajte 37 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$-3x-y=-37$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=10,y=7$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-3-y=0$$

Pridať položku 3 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$x-y=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$37-3x-y=0$$

Odčítajte 37 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$-3x-y=-37$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Odčítajte rovnicu -3x-y=-37 od rovnice x-y=3 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Prirátajte -y ku y. Členy -y a y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$x+3x=3+37$$

Prirátajte x ku 3x.

$$4x=3+37$$

Prirátajte 3 ku 37.

$$4x=40$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=10$$

V rovnici -3x-y=-37 dosaďte x za premennú 10. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$-3\times 10-y=-37$$

Vynásobte číslo -3 číslom 10.

$$-30-y=-37$$

Prirátajte 30 ku obom stranám rovnice.

$$-y=-7$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$y=7$$

Systém je vyriešený.

$$x=10,y=7$$