Vyriešiť {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 3y z oboch strán.

$$x+36-3y=0$$

Odčítajte 36 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$x-3y=-36$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+y=90$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$x=-y+90$$

Dosaďte -y+90 za x v druhej rovnici x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Prirátajte -y ku -3y.

$$-4y+90=-36$$

Odčítajte hodnotu 90 od oboch strán rovnice.

$$-4y=-126$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

V rovnici x=-y+90 dosaďte y za premennú \frac{63}{2}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Prirátajte 90 ku -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Postup použitia matíc

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 3y z oboch strán.

$$x+36-3y=0$$

Odčítajte 36 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$x-3y=-36$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 3y z oboch strán.

$$x+36-3y=0$$

Odčítajte 36 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$x-3y=-36$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Odčítajte rovnicu x-3y=-36 od rovnice x+y=90 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Prirátajte x ku -x. Členy x a -x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$y+3y=90+36$$

Prirátajte y ku 3y.

$$4y=90+36$$

Prirátajte 90 ku 36.

$$4y=126$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

V rovnici x-3y=-36 dosaďte y za premennú \frac{63}{2}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Vynásobte číslo -3 číslom \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Prirátajte \frac{189}{2} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{117}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$