Vyriešiť {l}{x+y=27}{x-y=-145}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { x - y = - 145 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=-59$$

$$y=86$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+y=27$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$x=-y+27$$

Dosaďte -y+27 za x v druhej rovnici x-y=-145.

$$-y+27-y=-145$$

Prirátajte -y ku -y.

$$-2y+27=-145$$

Odčítajte hodnotu 27 od oboch strán rovnice.

$$-2y=-172$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$y=86$$

V rovnici x=-y+27 dosaďte y za premennú 86. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-86+27$$

Prirátajte 27 ku -86.

$$x=-59$$

Systém je vyriešený.

$$x=-59,y=86$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-145\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27+\frac{1}{2}\left(-145\right)\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{1}{2}\left(-145\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-59\\86\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-59,y=86$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+y=27,x-y=-145$$

Odčítajte rovnicu x-y=-145 od rovnice x+y=27 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$x-x+y+y=27+145$$

Prirátajte x ku -x. Členy x a -x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$y+y=27+145$$

Prirátajte y ku y.

$$2y=27+145$$

Prirátajte 27 ku 145.

$$2y=172$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$y=86$$

V rovnici x-y=-145 dosaďte y za premennú 86. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x-86=-145$$

Prirátajte 86 ku obom stranám rovnice.

$$x=-59$$

Systém je vyriešený.

$$x=-59,y=86$$