Vyriešiť {l}{x+3y=7}{3x+y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 7 } \\ { 3 x + y = 17 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+3y=7$$

Odčítajte hodnotu 3y od oboch strán rovnice.

$$x=-3y+7$$

Dosaďte -3y+7 za x v druhej rovnici 3x+y=17.

$$3\left(-3y+7\right)+y=17$$

Vynásobte číslo 3 číslom -3y+7.

$$-9y+21+y=17$$

Prirátajte -9y ku y.

$$-8y+21=17$$

Odčítajte hodnotu 21 od oboch strán rovnice.

$$-8y=-4$$

Vydeľte obe strany hodnotou -8.

$$y=\frac{1}{2}$$

V rovnici x=-3y+7 dosaďte y za premennú \frac{1}{2}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-3\times \frac{1}{2}+7$$

Vynásobte číslo -3 číslom \frac{1}{2}.

$$x=-\frac{3}{2}+7$$

Prirátajte 7 ku -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{11}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 3}&-\frac{3}{1-3\times 3}\\-\frac{3}{1-3\times 3}&\frac{1}{1-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\17\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{8}\times 7+\frac{3}{8}\times 17\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\times 17\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+3y=7,3x+y=17$$

Ak chcete, aby boli členy x a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$3x+3\times 3y=3\times 7,3x+y=17$$

Zjednodušte.

$$3x+9y=21,3x+y=17$$

Odčítajte rovnicu 3x+y=17 od rovnice 3x+9y=21 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$3x-3x+9y-y=21-17$$

Prirátajte 3x ku -3x. Členy 3x a -3x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$9y-y=21-17$$

Prirátajte 9y ku -y.

$$8y=21-17$$

Prirátajte 21 ku -17.

$$8y=4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

V rovnici 3x+y=17 dosaďte y za premennú \frac{1}{2}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x+\frac{1}{2}=17$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$3x=\frac{33}{2}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=\frac{11}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{11}{2},y=\frac{1}{2}$$