Vyriešiť {l}{x+15=y}{4x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 15 = y } \\ { 4 x = y } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=5$$

$$y=20$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x+15-y=0$$

Odčítajte 15 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$x-y=-15$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$4x-y=0$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x-y=-15$$

Prirátajte y ku obom stranám rovnice.

$$x=y-15$$

Dosaďte y-15 za x v druhej rovnici 4x-y=0.

$$4\left(y-15\right)-y=0$$

Vynásobte číslo 4 číslom y-15.

$$4y-60-y=0$$

Prirátajte 4y ku -y.

$$3y-60=0$$

Prirátajte 60 ku obom stranám rovnice.

$$3y=60$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$y=20$$

V rovnici x=y-15 dosaďte y za premennú 20. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=20-15$$

Prirátajte -15 ku 20.

$$x=5$$

Systém je vyriešený.

$$x=5,y=20$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x+15-y=0$$

Odčítajte 15 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$x-y=-15$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$4x-y=0$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\0\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-15\right)\\-\frac{4}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\20\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=5,y=20$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x+15-y=0$$

Odčítajte 15 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$x-y=-15$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$4x-y=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x-y=-15,4x-y=0$$

Odčítajte rovnicu 4x-y=0 od rovnice x-y=-15 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$x-4x-y+y=-15$$

Prirátajte -y ku y. Členy -y a y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$x-4x=-15$$

Prirátajte x ku -4x.

$$-3x=-15$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$x=5$$

V rovnici 4x-y=0 dosaďte x za premennú 5. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$4\times 5-y=0$$

Vynásobte číslo 4 číslom 5.

$$20-y=0$$

Odčítajte hodnotu 20 od oboch strán rovnice.

$$-y=-20$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$y=20$$

Systém je vyriešený.

$$x=5,y=20$$