Vyriešiť {l}{800=x+20y}{700=x+15y}

$$\left. \begin{array} { l } { 800 = x + 20 y } \\ { 700 = x + 15 y } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=400$$

$$y=20$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$x+20y=800$$

Zvážte druhú rovnicu. Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$x+15y=700$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+20y=800$$

Odčítajte hodnotu 20y od oboch strán rovnice.

$$x=-20y+800$$

Dosaďte -20y+800 za x v druhej rovnici x+15y=700.

$$-20y+800+15y=700$$

Prirátajte -20y ku 15y.

$$-5y+800=700$$

Odčítajte hodnotu 800 od oboch strán rovnice.

$$-5y=-100$$

Vydeľte obe strany hodnotou -5.

$$y=20$$

V rovnici x=-20y+800 dosaďte y za premennú 20. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-20\times 20+800$$

Vynásobte číslo -20 číslom 20.

$$x=-400+800$$

Prirátajte 800 ku -400.

$$x=400$$

Systém je vyriešený.

$$x=400,y=20$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$x+20y=800$$

Zvážte druhú rovnicu. Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$x+15y=700$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&20\\1&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{15-20}&-\frac{20}{15-20}\\-\frac{1}{15-20}&\frac{1}{15-20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}800\\700\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 800+4\times 700\\\frac{1}{5}\times 800-\frac{1}{5}\times 700\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}400\\20\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=400,y=20$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$x+20y=800$$

Zvážte druhú rovnicu. Prehoďte strany tak, aby všetky premenné stáli na ľavej strane.

$$x+15y=700$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+20y=800,x+15y=700$$

Odčítajte rovnicu x+15y=700 od rovnice x+20y=800 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$x-x+20y-15y=800-700$$

Prirátajte x ku -x. Členy x a -x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$20y-15y=800-700$$

Prirátajte 20y ku -15y.

$$5y=800-700$$

Prirátajte 800 ku -700.

$$5y=100$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$y=20$$

V rovnici x+15y=700 dosaďte y za premennú 20. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x+15\times 20=700$$

Vynásobte číslo 15 číslom 20.

$$x+300=700$$

Odčítajte hodnotu 300 od oboch strán rovnice.

$$x=400$$

Systém je vyriešený.

$$x=400,y=20$$