Vyriešiť {l}{8+4x=2y}{-4x=14-3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 8 + 4 x = 2 y } \\ { - 4 x = 14 - 3 y } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=1$$

$$y=6$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2y z oboch strán.

$$8+4x-2y=0$$

Odčítajte 8 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$4x-2y=-8$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 3y na obidve snímky.

$$-4x+3y=14$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x-2y=-8$$

Prirátajte 2y ku obom stranám rovnice.

$$4x=2y-8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-8\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom -8+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-2$$

Dosaďte \frac{y}{2}-2 za x v druhej rovnici -4x+3y=14.

$$-4\left(\frac{1}{2}y-2\right)+3y=14$$

Vynásobte číslo -4 číslom \frac{y}{2}-2.

$$-2y+8+3y=14$$

Prirátajte -2y ku 3y.

$$y+8=14$$

Odčítajte hodnotu 8 od oboch strán rovnice.

$$y=6$$

V rovnici x=\frac{1}{2}y-2 dosaďte y za premennú 6. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{1}{2}\times 6-2$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom 6.

$$x=3-2$$

Prirátajte -2 ku 3.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=6$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2y z oboch strán.

$$8+4x-2y=0$$

Odčítajte 8 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$4x-2y=-8$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 3y na obidve snímky.

$$-4x+3y=14$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\14\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\left(-8\right)+\frac{1}{2}\times 14\\-8+14\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=1,y=6$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 2y z oboch strán.

$$8+4x-2y=0$$

Odčítajte 8 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$4x-2y=-8$$

Zvážte druhú rovnicu. Pridať položku 3y na obidve snímky.

$$-4x+3y=14$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x-2y=-8,-4x+3y=14$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a -4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$-4\times 4x-4\left(-2\right)y=-4\left(-8\right),4\left(-4\right)x+4\times 3y=4\times 14$$

Zjednodušte.

$$-16x+8y=32,-16x+12y=56$$

Odčítajte rovnicu -16x+12y=56 od rovnice -16x+8y=32 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$-16x+16x+8y-12y=32-56$$

Prirátajte -16x ku 16x. Členy -16x a 16x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$8y-12y=32-56$$

Prirátajte 8y ku -12y.

$$-4y=32-56$$

Prirátajte 32 ku -56.

$$-4y=-24$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$y=6$$

V rovnici -4x+3y=14 dosaďte y za premennú 6. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-4x+3\times 6=14$$

Vynásobte číslo 3 číslom 6.

$$-4x+18=14$$

Odčítajte hodnotu 18 od oboch strán rovnice.

$$-4x=-4$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=6$$