Vyriešiť {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=1$$

$$y=4$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$5x+y=9$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$5x=-y+9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{5} číslom -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

Dosaďte \frac{-y+9}{5} za x v druhej rovnici 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

Vynásobte číslo 10 číslom \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

Prirátajte -2y ku -7y.

$$-9y+18=-18$$

Odčítajte hodnotu 18 od oboch strán rovnice.

$$-9y=-36$$

Vydeľte obe strany hodnotou -9.

$$y=4$$

V rovnici x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5} dosaďte y za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{5} číslom 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

Prirátajte \frac{9}{5} ku -\frac{4}{5} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=4$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=1,y=4$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

Ak chcete, aby boli členy 5x a 10x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 10 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

Zjednodušte.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

Odčítajte rovnicu 50x-35y=-90 od rovnice 50x+10y=90 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

Prirátajte 50x ku -50x. Členy 50x a -50x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$10y+35y=90+90$$

Prirátajte 10y ku 35y.

$$45y=90+90$$

Prirátajte 90 ku 90.

$$45y=180$$

Vydeľte obe strany hodnotou 45.

$$y=4$$

V rovnici 10x-7y=-18 dosaďte y za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$10x-7\times 4=-18$$

Vynásobte číslo -7 číslom 4.

$$10x-28=-18$$

Prirátajte 28 ku obom stranám rovnice.

$$10x=10$$

Vydeľte obe strany hodnotou 10.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=4$$