Vyriešiť {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=2$$

$$y=0$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x+y=8$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$4x=-y+8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

Dosaďte -\frac{y}{4}+2 za x v druhej rovnici x-y=2.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

Prirátajte -\frac{y}{4} ku -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

Odčítajte hodnotu 2 od oboch strán rovnice.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{5}{4}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=0$$

V rovnici x=-\frac{1}{4}y+2 dosaďte y za premennú 0. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=0$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=2,y=0$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x+y=8,x-y=2$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

Zjednodušte.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

Odčítajte rovnicu 4x-4y=8 od rovnice 4x+y=8 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

Prirátajte 4x ku -4x. Členy 4x a -4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$y+4y=8-8$$

Prirátajte y ku 4y.

$$5y=8-8$$

Prirátajte 8 ku -8.

$$5y=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$y=0$$

V rovnici x-y=2 dosaďte y za premennú 0. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=0$$