Vyriešiť {l}{4x+y=7}{3x+2y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 9 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=1$$

$$y=3$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x+y=7$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$4x=-y+7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+7\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom -y+7.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}$$

Dosaďte \frac{-y+7}{4} za x v druhej rovnici 3x+2y=9.

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4}\right)+2y=9$$

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{-y+7}{4}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+2y=9$$

Prirátajte -\frac{3y}{4} ku 2y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{21}{4}=9$$

Odčítajte hodnotu \frac{21}{4} od oboch strán rovnice.

$$\frac{5}{4}y=\frac{15}{4}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{5}{4}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=3$$

V rovnici x=-\frac{1}{4}y+\frac{7}{4} dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{7}{4}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{4} číslom 3.

$$x=\frac{-3+7}{4}$$

Prirátajte \frac{7}{4} ku -\frac{3}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=3$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-3}&-\frac{1}{4\times 2-3}\\-\frac{3}{4\times 2-3}&\frac{4}{4\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\times 9\\-\frac{3}{5}\times 7+\frac{4}{5}\times 9\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=1,y=3$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x+y=7,3x+2y=9$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$3\times 4x+3y=3\times 7,4\times 3x+4\times 2y=4\times 9$$

Zjednodušte.

$$12x+3y=21,12x+8y=36$$

Odčítajte rovnicu 12x+8y=36 od rovnice 12x+3y=21 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$12x-12x+3y-8y=21-36$$

Prirátajte 12x ku -12x. Členy 12x a -12x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$3y-8y=21-36$$

Prirátajte 3y ku -8y.

$$-5y=21-36$$

Prirátajte 21 ku -36.

$$-5y=-15$$

Vydeľte obe strany hodnotou -5.

$$y=3$$

V rovnici 3x+2y=9 dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x+2\times 3=9$$

Vynásobte číslo 2 číslom 3.

$$3x+6=9$$

Odčítajte hodnotu 6 od oboch strán rovnice.

$$3x=3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=3$$