Vyriešiť {l}{4x+2y=2}{x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 2 } \\ { x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=-3$$

$$y=7$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x+2y=2$$

Odčítajte hodnotu 2y od oboch strán rovnice.

$$4x=-2y+2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+2\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom -2y+2.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{-y+1}{2} za x v druhej rovnici x+y=4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

Prirátajte -\frac{y}{2} ku y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

Odčítajte hodnotu \frac{1}{2} od oboch strán rovnice.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Vynásobte obe strany hodnotou 2.

$$y=7$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} dosaďte y za premennú 7. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslom 7.

$$x=\frac{-7+1}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku -\frac{7}{2} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=-3$$

Systém je vyriešený.

$$x=-3,y=7$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-4\\-\frac{1}{2}\times 2+2\times 4\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\7\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-3,y=7$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x+2y=2,x+y=4$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$4x+2y=2,4x+4y=4\times 4$$

Zjednodušte.

$$4x+2y=2,4x+4y=16$$

Odčítajte rovnicu 4x+4y=16 od rovnice 4x+2y=2 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$4x-4x+2y-4y=2-16$$

Prirátajte 4x ku -4x. Členy 4x a -4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$2y-4y=2-16$$

Prirátajte 2y ku -4y.

$$-2y=2-16$$

Prirátajte 2 ku -16.

$$-2y=-14$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$y=7$$

V rovnici x+y=4 dosaďte y za premennú 7. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x+7=4$$

Odčítajte hodnotu 7 od oboch strán rovnice.

$$x=-3$$

Systém je vyriešený.

$$x=-3,y=7$$