Vyriešiť {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x_1,x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x_{1} tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x_{1}.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Odčítajte hodnotu 3x_{2} od oboch strán rovnice.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Dosaďte \frac{-3x_{2}+7}{2} za x_{1} v druhej rovnici 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Vynásobte číslo 4 číslom \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Prirátajte -6x_{2} ku -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Odčítajte hodnotu 14 od oboch strán rovnice.

$$-10x_{2}=-20$$

Vydeľte obe strany hodnotou -10.

$$x_{2}=2$$

V rovnici x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2} dosaďte x_{2} za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x_{1} vypočítať priamo.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{3}{2} číslom 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Prirátajte \frac{7}{2} ku -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x_{1} a x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Ak chcete, aby boli členy 2x_{1} a 4x_{1} rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Zjednodušte.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Odčítajte rovnicu 8x_{1}-8x_{2}=-12 od rovnice 8x_{1}+12x_{2}=28 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Prirátajte 8x_{1} ku -8x_{1}. Členy 8x_{1} a -8x_{1} sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Prirátajte 12x_{2} ku 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Prirátajte 28 ku 12.

$$20x_{2}=40$$

Vydeľte obe strany hodnotou 20.

$$x_{2}=2$$

V rovnici 4x_{1}-4x_{2}=-6 dosaďte x_{2} za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x_{1} vypočítať priamo.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Vynásobte číslo -4 číslom 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Prirátajte 8 ku obom stranám rovnice.

$$4x_{1}=2$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$