Vyriešiť {l}{2x+y=-6}{y=7x+3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = 7 x + 3 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 7x z oboch strán.

$$y-7x=3$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+y=-6$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$2x=-y-6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -y-6.

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

Dosaďte -\frac{y}{2}-3 za x v druhej rovnici -7x+y=3.

$$-7\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

Vynásobte číslo -7 číslom -\frac{y}{2}-3.

$$\frac{7}{2}y+21+y=3$$

Prirátajte \frac{7y}{2} ku y.

$$\frac{9}{2}y+21=3$$

Odčítajte hodnotu 21 od oboch strán rovnice.

$$\frac{9}{2}y=-18$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{9}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=-4$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y-3 dosaďte y za premennú -4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4\right)-3$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslom -4.

$$x=2-3$$

Prirátajte -3 ku 2.

$$x=-1$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1,y=-4$$

Postup použitia matíc

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 7x z oboch strán.

$$y-7x=3$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\right)}&-\frac{1}{2-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{2-\left(-7\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\\\frac{7}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-6\right)-\frac{1}{9}\times 3\\\frac{7}{9}\left(-6\right)+\frac{2}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-1,y=-4$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 7x z oboch strán.

$$y-7x=3$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+y=-6,-7x+y=3$$

Odčítajte rovnicu -7x+y=3 od rovnice 2x+y=-6 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2x+7x+y-y=-6-3$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$2x+7x=-6-3$$

Prirátajte 2x ku 7x.

$$9x=-6-3$$

Prirátajte -6 ku -3.

$$9x=-9$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$x=-1$$

V rovnici -7x+y=3 dosaďte x za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$-7\left(-1\right)+y=3$$

Vynásobte číslo -7 číslom -1.

$$7+y=3$$

Odčítajte hodnotu 7 od oboch strán rovnice.

$$y=-4$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1,y=-4$$