Vyriešiť {l}{2x+5y=259}{199x-2y=1127}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 259 } \\ { 199 x - 2 y = 1127 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{2051}{333} = 6\frac{53}{333} \approx 6.159159159$$

$$y = \frac{16429}{333} = 49\frac{112}{333} \approx 49.336336336$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+5y=259$$

Odčítajte hodnotu 5y od oboch strán rovnice.

$$2x=-5y+259$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+259\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -5y+259.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}$$

Dosaďte \frac{-5y+259}{2} za x v druhej rovnici 199x-2y=1127.

$$199\left(-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2}\right)-2y=1127$$

Vynásobte číslo 199 číslom \frac{-5y+259}{2}.

$$-\frac{995}{2}y+\frac{51541}{2}-2y=1127$$

Prirátajte -\frac{995y}{2} ku -2y.

$$-\frac{999}{2}y+\frac{51541}{2}=1127$$

Odčítajte hodnotu \frac{51541}{2} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{999}{2}y=-\frac{49287}{2}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{999}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=\frac{16429}{333}$$

V rovnici x=-\frac{5}{2}y+\frac{259}{2} dosaďte y za premennú \frac{16429}{333}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{5}{2}\times \frac{16429}{333}+\frac{259}{2}$$

Vynásobte zlomok -\frac{5}{2} zlomkom \frac{16429}{333} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=-\frac{82145}{666}+\frac{259}{2}$$

Prirátajte \frac{259}{2} ku -\frac{82145}{666} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\199&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 199}\\-\frac{199}{2\left(-2\right)-5\times 199}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 199}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}&\frac{5}{999}\\\frac{199}{999}&-\frac{2}{999}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}259\\1127\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{999}\times 259+\frac{5}{999}\times 1127\\\frac{199}{999}\times 259-\frac{2}{999}\times 1127\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2051}{333}\\\frac{16429}{333}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+5y=259,199x-2y=1127$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a 199x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 199 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$199\times 2x+199\times 5y=199\times 259,2\times 199x+2\left(-2\right)y=2\times 1127$$

Zjednodušte.

$$398x+995y=51541,398x-4y=2254$$

Odčítajte rovnicu 398x-4y=2254 od rovnice 398x+995y=51541 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$398x-398x+995y+4y=51541-2254$$

Prirátajte 398x ku -398x. Členy 398x a -398x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$995y+4y=51541-2254$$

Prirátajte 995y ku 4y.

$$999y=51541-2254$$

Prirátajte 51541 ku -2254.

$$999y=49287$$

Vydeľte obe strany hodnotou 999.

$$y=\frac{16429}{333}$$

V rovnici 199x-2y=1127 dosaďte y za premennú \frac{16429}{333}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$199x-2\times \frac{16429}{333}=1127$$

Vynásobte číslo -2 číslom \frac{16429}{333}.

$$199x-\frac{32858}{333}=1127$$

Prirátajte \frac{32858}{333} ku obom stranám rovnice.

$$199x=\frac{408149}{333}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 199.

$$x=\frac{2051}{333}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{2051}{333},y=\frac{16429}{333}$$