Vyriešiť {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=3$$

$$y=1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+16y=22$$

Odčítajte hodnotu 16y od oboch strán rovnice.

$$2x=-16y+22$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Dosaďte -8y+11 za x v druhej rovnici 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Vynásobte číslo 4 číslom -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Prirátajte -32y ku 8y.

$$-24y+44=20$$

Odčítajte hodnotu 44 od oboch strán rovnice.

$$-24y=-24$$

Vydeľte obe strany hodnotou -24.

$$y=1$$

V rovnici x=-8y+11 dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-8+11$$

Prirátajte 11 ku -8.

$$x=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=3,y=1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=3,y=1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a 4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Zjednodušte.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Odčítajte rovnicu 8x+16y=40 od rovnice 8x+64y=88 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Prirátajte 8x ku -8x. Členy 8x a -8x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$64y-16y=88-40$$

Prirátajte 64y ku -16y.

$$48y=88-40$$

Prirátajte 88 ku -40.

$$48y=48$$

Vydeľte obe strany hodnotou 48.

$$y=1$$

V rovnici 4x+8y=20 dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$4x+8=20$$

Odčítajte hodnotu 8 od oboch strán rovnice.

$$4x=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=3,y=1$$