Vyriešiť {l}{13x+20y=48}{20x+93y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 13 x + 20 y = 48 } \\ { 20 x + 93 y = 1 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{4444}{809} = 5\frac{399}{809} \approx 5.493201483$$

$$y = -\frac{947}{809} = -1\frac{138}{809} \approx -1.170580964$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$13x+20y=48$$

Odčítajte hodnotu 20y od oboch strán rovnice.

$$13x=-20y+48$$

Vydeľte obe strany hodnotou 13.

$$x=\frac{1}{13}\left(-20y+48\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{13} číslom -20y+48.

$$x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}$$

Dosaďte \frac{-20y+48}{13} za x v druhej rovnici 20x+93y=1.

$$20\left(-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13}\right)+93y=1$$

Vynásobte číslo 20 číslom \frac{-20y+48}{13}.

$$-\frac{400}{13}y+\frac{960}{13}+93y=1$$

Prirátajte -\frac{400y}{13} ku 93y.

$$\frac{809}{13}y+\frac{960}{13}=1$$

Odčítajte hodnotu \frac{960}{13} od oboch strán rovnice.

$$\frac{809}{13}y=-\frac{947}{13}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{809}{13}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=-\frac{947}{809}$$

V rovnici x=-\frac{20}{13}y+\frac{48}{13} dosaďte y za premennú -\frac{947}{809}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{20}{13}\left(-\frac{947}{809}\right)+\frac{48}{13}$$

Vynásobte zlomok -\frac{20}{13} zlomkom -\frac{947}{809} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=\frac{18940}{10517}+\frac{48}{13}$$

Prirátajte \frac{48}{13} ku \frac{18940}{10517} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}13&20\\20&93\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{13\times 93-20\times 20}&-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}\\-\frac{20}{13\times 93-20\times 20}&\frac{13}{13\times 93-20\times 20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}&-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}&\frac{13}{809}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{93}{809}\times 48-\frac{20}{809}\\-\frac{20}{809}\times 48+\frac{13}{809}\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4444}{809}\\-\frac{947}{809}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$13x+20y=48,20x+93y=1$$

Ak chcete, aby boli členy 13x a 20x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 20 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 13.

$$20\times 13x+20\times 20y=20\times 48,13\times 20x+13\times 93y=13$$

Zjednodušte.

$$260x+400y=960,260x+1209y=13$$

Odčítajte rovnicu 260x+1209y=13 od rovnice 260x+400y=960 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$260x-260x+400y-1209y=960-13$$

Prirátajte 260x ku -260x. Členy 260x a -260x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$400y-1209y=960-13$$

Prirátajte 400y ku -1209y.

$$-809y=960-13$$

Prirátajte 960 ku -13.

$$-809y=947$$

Vydeľte obe strany hodnotou -809.

$$y=-\frac{947}{809}$$

V rovnici 20x+93y=1 dosaďte y za premennú -\frac{947}{809}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$20x+93\left(-\frac{947}{809}\right)=1$$

Vynásobte číslo 93 číslom -\frac{947}{809}.

$$20x-\frac{88071}{809}=1$$

Prirátajte \frac{88071}{809} ku obom stranám rovnice.

$$20x=\frac{88880}{809}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 20.

$$x=\frac{4444}{809}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{4444}{809},y=-\frac{947}{809}$$