Vyriešiť {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$12x+4y=6$$

Odčítajte hodnotu 4y od oboch strán rovnice.

$$12x=-4y+6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{12} číslom -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Dosaďte -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} za x v druhej rovnici 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Vynásobte číslo 9 číslom -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Prirátajte -3y ku 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Odčítajte hodnotu \frac{9}{2} od oboch strán rovnice.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

V rovnici x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2} dosaďte y za premennú \frac{7}{26}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Vynásobte zlomok -\frac{1}{3} zlomkom \frac{7}{26} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku -\frac{7}{78} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{16}{39}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Ak chcete, aby boli členy 12x a 9x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 9 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Zjednodušte.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Odčítajte rovnicu 108x+192y=96 od rovnice 108x+36y=54 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Prirátajte 108x ku -108x. Členy 108x a -108x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$36y-192y=54-96$$

Prirátajte 36y ku -192y.

$$-156y=54-96$$

Prirátajte 54 ku -96.

$$-156y=-42$$

Vydeľte obe strany hodnotou -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

V rovnici 9x+16y=8 dosaďte y za premennú \frac{7}{26}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Vynásobte číslo 16 číslom \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Odčítajte hodnotu \frac{56}{13} od oboch strán rovnice.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$