Vyriešiť {l}{y+1/3x-4=1/2}{5x+y/3x+11=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { y + 1 } { 3 x - 4 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x + y } { 3 x + 11 } = 1 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre y,x

$$x=4$$

$$y=3$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Premenná x sa nemôže rovnať \frac{4}{3}, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 2\left(3x-4\right), najmenším spoločným násobkom čísla 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Odčítajte 3x z oboch strán.

$$2y+2-3x=-4$$

Odčítajte 2 z oboch strán.

$$2y-3x=-4-2$$

Odčítajte 2 z -4 a dostanete -6.

$$2y-3x=-6$$

Zvážte druhú rovnicu. Premenná x sa nemôže rovnať -\frac{11}{3}, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Odčítajte 3x z oboch strán.

$$5x+y-3x=11$$

Skombinovaním 5x a -3x získate 2x.

$$2x+y=11$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$2y-3x=-6$$

Prirátajte 3x ku obom stranám rovnice.

$$2y=3x-6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -6+3x.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

Dosaďte \frac{3x}{2}-3 za y v druhej rovnici y+2x=11.

$$\frac{3}{2}x-3+2x=11$$

Prirátajte \frac{3x}{2} ku 2x.

$$\frac{7}{2}x-3=11$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$\frac{7}{2}x=14$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{7}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$x=4$$

V rovnici y=\frac{3}{2}x-3 dosaďte x za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=\frac{3}{2}\times 4-3$$

Vynásobte číslo \frac{3}{2} číslom 4.

$$y=6-3$$

Prirátajte -3 ku 6.

$$y=3$$

Systém je vyriešený.

$$y=3,x=4$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Premenná x sa nemôže rovnať \frac{4}{3}, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 2\left(3x-4\right), najmenším spoločným násobkom čísla 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Odčítajte 3x z oboch strán.

$$2y+2-3x=-4$$

Odčítajte 2 z oboch strán.

$$2y-3x=-4-2$$

Odčítajte 2 z -4 a dostanete -6.

$$2y-3x=-6$$

Zvážte druhú rovnicu. Premenná x sa nemôže rovnať -\frac{11}{3}, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Odčítajte 3x z oboch strán.

$$5x+y-3x=11$$

Skombinovaním 5x a -3x získate 2x.

$$2x+y=11$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\11\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\left(-6\right)+\frac{3}{7}\times 11\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{2}{7}\times 11\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=3,x=4$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Premenná x sa nemôže rovnať \frac{4}{3}, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice číslom 2\left(3x-4\right), najmenším spoločným násobkom čísla 3x-4,2.

$$2\left(y+1\right)=3x-4$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 2 a y+1.

$$2y+2=3x-4$$

Odčítajte 3x z oboch strán.

$$2y+2-3x=-4$$

Odčítajte 2 z oboch strán.

$$2y-3x=-4-2$$

Odčítajte 2 z -4 a dostanete -6.

$$2y-3x=-6$$

Zvážte druhú rovnicu. Premenná x sa nemôže rovnať -\frac{11}{3}, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou 3x+11.

$$5x+y=3x+11$$

Odčítajte 3x z oboch strán.

$$5x+y-3x=11$$

Skombinovaním 5x a -3x získate 2x.

$$2x+y=11$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2y-3x=-6,y+2x=11$$

Ak chcete, aby boli členy 2y a y rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$2y-3x=-6,2y+2\times 2x=2\times 11$$

Zjednodušte.

$$2y-3x=-6,2y+4x=22$$

Odčítajte rovnicu 2y+4x=22 od rovnice 2y-3x=-6 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2y-2y-3x-4x=-6-22$$

Prirátajte 2y ku -2y. Členy 2y a -2y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-3x-4x=-6-22$$

Prirátajte -3x ku -4x.

$$-7x=-6-22$$

Prirátajte -6 ku -22.

$$-7x=-28$$

Vydeľte obe strany hodnotou -7.

$$x=4$$

V rovnici y+2x=11 dosaďte x za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y+2\times 4=11$$

Vynásobte číslo 2 číslom 4.

$$y+8=11$$

Odčítajte hodnotu 8 od oboch strán rovnice.

$$y=3$$

Systém je vyriešený.

$$y=3,x=4$$