Vyriešiť {l}{x/3-y/2=8}{x/5+y/3=1}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 8 } \\ { \frac { x } { 5 } + \frac { y } { 3 } = 1 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=15$$

$$y=-6$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 6, najmenším spoločným násobkom čísla 3,2.

$$2x-3y=48$$

Zvážte druhú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 15, najmenším spoločným násobkom čísla 5,3.

$$3x+5y=15$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x-3y=48$$

Prirátajte 3y ku obom stranám rovnice.

$$2x=3y+48$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom 48+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+24$$

Dosaďte \frac{3y}{2}+24 za x v druhej rovnici 3x+5y=15.

$$3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15$$

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{3y}{2}+24.

$$\frac{9}{2}y+72+5y=15$$

Prirátajte \frac{9y}{2} ku 5y.

$$\frac{19}{2}y+72=15$$

Odčítajte hodnotu 72 od oboch strán rovnice.

$$\frac{19}{2}y=-57$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{19}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=-6$$

V rovnici x=\frac{3}{2}y+24 dosaďte y za premennú -6. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24$$

Vynásobte číslo \frac{3}{2} číslom -6.

$$x=-9+24$$

Prirátajte 24 ku -9.

$$x=15$$

Systém je vyriešený.

$$x=15,y=-6$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 6, najmenším spoločným násobkom čísla 3,2.

$$2x-3y=48$$

Zvážte druhú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 15, najmenším spoločným násobkom čísla 5,3.

$$3x+5y=15$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=15,y=-6$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 6, najmenším spoločným násobkom čísla 3,2.

$$2x-3y=48$$

Zvážte druhú rovnicu. Vynásobte obe strany rovnice číslom 15, najmenším spoločným násobkom čísla 5,3.

$$3x+5y=15$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x-3y=48,3x+5y=15$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15$$

Zjednodušte.

$$6x-9y=144,6x+10y=30$$

Odčítajte rovnicu 6x+10y=30 od rovnice 6x-9y=144 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$6x-6x-9y-10y=144-30$$

Prirátajte 6x ku -6x. Členy 6x a -6x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-9y-10y=144-30$$

Prirátajte -9y ku -10y.

$$-19y=144-30$$

Prirátajte 144 ku -30.

$$-19y=114$$

Vydeľte obe strany hodnotou -19.

$$y=-6$$

V rovnici 3x+5y=15 dosaďte y za premennú -6. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x+5\left(-6\right)=15$$

Vynásobte číslo 5 číslom -6.

$$3x-30=15$$

Prirátajte 30 ku obom stranám rovnice.

$$3x=45$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=15$$

Systém je vyriešený.

$$x=15,y=-6$$