Vyriešiť {l}{k/L=100}{5k+50L=110}

$$\left. \begin{array} { l } { \frac { k } { L } = 100 } \\ { 5 k + 50 L = 110 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre k,L

$$k=20$$

$$L=\frac{1}{5}=0.2$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Premenná L sa nemôže rovnať 0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou L.

$$k=100L$$

Dosaďte 100L za k v druhej rovnici 5k+50L=110.

$$5\times 100L+50L=110$$

Vynásobte číslo 5 číslom 100L.

$$500L+50L=110$$

Prirátajte 500L ku 50L.

$$550L=110$$

Vydeľte obe strany hodnotou 550.

$$L=\frac{1}{5}$$

V rovnici k=100L dosaďte L za premennú \frac{1}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej k vypočítať priamo.

$$k=100\times \frac{1}{5}$$

Vynásobte číslo 100 číslom \frac{1}{5}.

$$k=20$$

Systém je vyriešený.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Premenná L sa nemôže rovnať 0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou L.

$$k=100L$$

Odčítajte 100L z oboch strán.

$$k-100L=0$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-100\\5&50\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{50-\left(-100\times 5\right)}&-\frac{-100}{50-\left(-100\times 5\right)}\\-\frac{5}{50-\left(-100\times 5\right)}&\frac{1}{50-\left(-100\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\\-\frac{1}{110}&\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\110\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 110\\\frac{1}{550}\times 110\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}k\\L\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice k a L.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Premenná L sa nemôže rovnať 0, pretože delenie nulou nie je definované. Vynásobte obe strany rovnice premennou L.

$$k=100L$$

Odčítajte 100L z oboch strán.

$$k-100L=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$k-100L=0,5k+50L=110$$

Ak chcete, aby boli členy k a 5k rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 5 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$5k+5\left(-100\right)L=0,5k+50L=110$$

Zjednodušte.

$$5k-500L=0,5k+50L=110$$

Odčítajte rovnicu 5k+50L=110 od rovnice 5k-500L=0 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$5k-5k-500L-50L=-110$$

Prirátajte 5k ku -5k. Členy 5k a -5k sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-500L-50L=-110$$

Prirátajte -500L ku -50L.

$$-550L=-110$$

Vydeľte obe strany hodnotou -550.

$$L=\frac{1}{5}$$

V rovnici 5k+50L=110 dosaďte L za premennú \frac{1}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej k vypočítať priamo.

$$5k+50\times \frac{1}{5}=110$$

Vynásobte číslo 50 číslom \frac{1}{5}.

$$5k+10=110$$

Odčítajte hodnotu 10 od oboch strán rovnice.

$$5k=100$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$k=20$$

Systém je vyriešený.

$$k=20,L=\frac{1}{5}$$