Vyriešiť {c}{x-3=y}{4x=37+3y}

$$\left. \begin{array} { c } { x - 3 = y } \\ { 4 x = 37 + 3 y } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=28$$

$$y=25$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-3-y=0$$

Pridať položku 3 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$x-y=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 3y z oboch strán.

$$4x-3y=37$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x-y=3$$

Prirátajte y ku obom stranám rovnice.

$$x=y+3$$

Dosaďte y+3 za x v druhej rovnici 4x-3y=37.

$$4\left(y+3\right)-3y=37$$

Vynásobte číslo 4 číslom y+3.

$$4y+12-3y=37$$

Prirátajte 4y ku -3y.

$$y+12=37$$

Odčítajte hodnotu 12 od oboch strán rovnice.

$$y=25$$

V rovnici x=y+3 dosaďte y za premennú 25. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=25+3$$

Prirátajte 3 ku 25.

$$x=28$$

Systém je vyriešený.

$$x=28,y=25$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-3-y=0$$

Pridať položku 3 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$x-y=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 3y z oboch strán.

$$4x-3y=37$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-3-\left(-4\right)}&\frac{1}{-3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\37\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 3+37\\-4\times 3+37\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\25\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=28,y=25$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte y z oboch strán.

$$x-3-y=0$$

Pridať položku 3 na obidve snímky. Prirátaním nuly sa hodnota nezmení.

$$x-y=3$$

Zvážte druhú rovnicu. Odčítajte 3y z oboch strán.

$$4x-3y=37$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x-y=3,4x-3y=37$$

Ak chcete, aby boli členy x a 4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$4x+4\left(-1\right)y=4\times 3,4x-3y=37$$

Zjednodušte.

$$4x-4y=12,4x-3y=37$$

Odčítajte rovnicu 4x-3y=37 od rovnice 4x-4y=12 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$4x-4x-4y+3y=12-37$$

Prirátajte 4x ku -4x. Členy 4x a -4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-4y+3y=12-37$$

Prirátajte -4y ku 3y.

$$-y=12-37$$

Prirátajte 12 ku -37.

$$-y=-25$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$y=25$$

V rovnici 4x-3y=37 dosaďte y za premennú 25. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$4x-3\times 25=37$$

Vynásobte číslo -3 číslom 25.

$$4x-75=37$$

Prirátajte 75 ku obom stranám rovnice.

$$4x=112$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=28$$

Systém je vyriešený.

$$x=28,y=25$$