Vyriešiť {c}{x+y=9}{4x+5y=39}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 9 } \\ { 4 x + 5 y = 39 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=6$$

$$y=3$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+y=9$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$x=-y+9$$

Dosaďte -y+9 za x v druhej rovnici 4x+5y=39.

$$4\left(-y+9\right)+5y=39$$

Vynásobte číslo 4 číslom -y+9.

$$-4y+36+5y=39$$

Prirátajte -4y ku 5y.

$$y+36=39$$

Odčítajte hodnotu 36 od oboch strán rovnice.

$$y=3$$

V rovnici x=-y+9 dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-3+9$$

Prirátajte 9 ku -3.

$$x=6$$

Systém je vyriešený.

$$x=6,y=3$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-4}&-\frac{1}{5-4}\\-\frac{4}{5-4}&\frac{1}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\39\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 9-39\\-4\times 9+39\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=6,y=3$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+y=9,4x+5y=39$$

Ak chcete, aby boli členy x a 4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$4x+4y=4\times 9,4x+5y=39$$

Zjednodušte.

$$4x+4y=36,4x+5y=39$$

Odčítajte rovnicu 4x+5y=39 od rovnice 4x+4y=36 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$4x-4x+4y-5y=36-39$$

Prirátajte 4x ku -4x. Členy 4x a -4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$4y-5y=36-39$$

Prirátajte 4y ku -5y.

$$-y=36-39$$

Prirátajte 36 ku -39.

$$-y=-3$$

Vydeľte obe strany hodnotou -1.

$$y=3$$

V rovnici 4x+5y=39 dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$4x+5\times 3=39$$

Vynásobte číslo 5 číslom 3.

$$4x+15=39$$

Odčítajte hodnotu 15 od oboch strán rovnice.

$$4x=24$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=6$$

Systém je vyriešený.

$$x=6,y=3$$