Vyriešiť {c}{x+y=27}{.25x+.05y=3.35}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 27 } \\ { .25 x + .05 y = 3.35 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=10$$

$$y=17$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+y=27$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$x=-y+27$$

Dosaďte -y+27 za x v druhej rovnici 0.25x+0.05y=3.35.

$$0.25\left(-y+27\right)+0.05y=3.35$$

Vynásobte číslo 0.25 číslom -y+27.

$$-0.25y+6.75+0.05y=3.35$$

Prirátajte -\frac{y}{4} ku \frac{y}{20}.

$$-0.2y+6.75=3.35$$

Odčítajte hodnotu 6.75 od oboch strán rovnice.

$$-0.2y=-3.4$$

Vynásobte obe strany hodnotou -5.

$$y=17$$

V rovnici x=-y+27 dosaďte y za premennú 17. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-17+27$$

Prirátajte 27 ku -17.

$$x=10$$

Systém je vyriešený.

$$x=10,y=17$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.25&0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.05}{0.05-0.25}&-\frac{1}{0.05-0.25}\\-\frac{0.25}{0.05-0.25}&\frac{1}{0.05-0.25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25&5\\1.25&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\3.35\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\times 27+5\times 3.35\\1.25\times 27-5\times 3.35\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\17\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=10,y=17$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+y=27,0.25x+0.05y=3.35$$

Ak chcete, aby boli členy x a \frac{x}{4} rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 0.25 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$0.25x+0.25y=0.25\times 27,0.25x+0.05y=3.35$$

Zjednodušte.

$$0.25x+0.25y=6.75,0.25x+0.05y=3.35$$

Odčítajte rovnicu 0.25x+0.05y=3.35 od rovnice 0.25x+0.25y=6.75 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$0.25x-0.25x+0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Prirátajte \frac{x}{4} ku -\frac{x}{4}. Členy \frac{x}{4} a -\frac{x}{4} sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$0.25y-0.05y=6.75-3.35$$

Prirátajte \frac{y}{4} ku -\frac{y}{20}.

$$0.2y=6.75-3.35$$

Prirátajte 6.75 ku -3.35 zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$0.2y=3.4$$

Vynásobte obe strany hodnotou 5.

$$y=17$$

V rovnici 0.25x+0.05y=3.35 dosaďte y za premennú 17. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$0.25x+0.05\times 17=3.35$$

Vynásobte číslo 0.05 číslom 17.

$$0.25x+0.85=3.35$$

Odčítajte hodnotu 0.85 od oboch strán rovnice.

$$0.25x=2.5$$

Vynásobte obe strany hodnotou 4.

$$x=10$$

Systém je vyriešený.

$$x=10,y=17$$