Vyriešiť {c}{x+3y=14}{4x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { x + 3 y = 14 } \\ { 4 x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=2$$

$$y=4$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+3y=14$$

Odčítajte hodnotu 3y od oboch strán rovnice.

$$x=-3y+14$$

Dosaďte -3y+14 za x v druhej rovnici 4x-y=4.

$$4\left(-3y+14\right)-y=4$$

Vynásobte číslo 4 číslom -3y+14.

$$-12y+56-y=4$$

Prirátajte -12y ku -y.

$$-13y+56=4$$

Odčítajte hodnotu 56 od oboch strán rovnice.

$$-13y=-52$$

Vydeľte obe strany hodnotou -13.

$$y=4$$

V rovnici x=-3y+14 dosaďte y za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-3\times 4+14$$

Vynásobte číslo -3 číslom 4.

$$x=-12+14$$

Prirátajte 14 ku -12.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=4$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-3\times 4}&-\frac{3}{-1-3\times 4}\\-\frac{4}{-1-3\times 4}&\frac{1}{-1-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 14+\frac{3}{13}\times 4\\\frac{4}{13}\times 14-\frac{1}{13}\times 4\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=2,y=4$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+3y=14,4x-y=4$$

Ak chcete, aby boli členy x a 4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$4x+4\times 3y=4\times 14,4x-y=4$$

Zjednodušte.

$$4x+12y=56,4x-y=4$$

Odčítajte rovnicu 4x-y=4 od rovnice 4x+12y=56 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$4x-4x+12y+y=56-4$$

Prirátajte 4x ku -4x. Členy 4x a -4x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$12y+y=56-4$$

Prirátajte 12y ku y.

$$13y=56-4$$

Prirátajte 56 ku -4.

$$13y=52$$

Vydeľte obe strany hodnotou 13.

$$y=4$$

V rovnici 4x-y=4 dosaďte y za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$4x-4=4$$

Prirátajte 4 ku obom stranám rovnice.

$$4x=8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=4$$