Vyriešiť {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre a,b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej a tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú a.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Odčítajte hodnotu b od oboch strán rovnice.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{3}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{2}{3} číslom -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Dosaďte \frac{-2b+2}{3} za a v druhej rovnici a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Prirátajte -\frac{2b}{3} ku \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Odčítajte hodnotu \frac{2}{3} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Vynásobte obe strany hodnotou -6.

$$b=-38$$

V rovnici a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3} dosaďte b za premennú -38. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej a vypočítať priamo.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Vynásobte číslo -\frac{2}{3} číslom -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Prirátajte \frac{2}{3} ku \frac{76}{3} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$a=26$$

Systém je vyriešený.

$$a=26,b=-38$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice a a b.

$$a=26,b=-38$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Ak chcete, aby boli členy \frac{3a}{2} a a rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Zjednodušte.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Odčítajte rovnicu \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} od rovnice \frac{3}{2}a+b=1 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Prirátajte \frac{3a}{2} ku -\frac{3a}{2}. Členy \frac{3a}{2} a -\frac{3a}{2} sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Prirátajte b ku -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Prirátajte 1 ku -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Vynásobte obe strany hodnotou 4.

$$b=-38$$

V rovnici a+\frac{1}{2}b=7 dosaďte b za premennú -38. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej a vypočítať priamo.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -38.

$$a-19=7$$

Prirátajte 19 ku obom stranám rovnice.

$$a=26$$

Systém je vyriešený.

$$a=26,b=-38$$