Vyriešiť {l}{y-2x=4}{2x+3y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - 2 x = 4 } \\ { 2 x + 3 y = 28 } \end{array} \right\}$$

Riešenie pre y,x

$$x=2$$

$$y=8$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-2x=4$$

Prirátajte 2x ku obom stranám rovnice.

$$y=2x+4$$

Dosaďte 4+2x za y v druhej rovnici 3y+2x=28.

$$3\left(2x+4\right)+2x=28$$

Vynásobte číslo 3 číslom 4+2x.

$$6x+12+2x=28$$

Prirátajte 6x ku 2x.

$$8x+12=28$$

Odčítajte hodnotu 12 od oboch strán rovnice.

$$8x=16$$

Vydeľte obe strany hodnotou 8.

$$x=2$$

V rovnici y=2x+4 dosaďte x za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=2\times 2+4$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$y=4+4$$

Prirátajte 4 ku 4.

$$y=8$$

Systém je vyriešený.

$$y=8,x=2$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\28\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 28\\-\frac{3}{8}\times 4+\frac{1}{8}\times 28\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=8,x=2$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-2x=4,3y+2x=28$$

Ak chcete, aby boli členy y a 3y rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=3\times 4,3y+2x=28$$

Zjednodušte.

$$3y-6x=12,3y+2x=28$$

Odčítajte rovnicu 3y+2x=28 od rovnice 3y-6x=12 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$3y-3y-6x-2x=12-28$$

Prirátajte 3y ku -3y. Členy 3y a -3y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-6x-2x=12-28$$

Prirátajte -6x ku -2x.

$$-8x=12-28$$

Prirátajte 12 ku -28.

$$-8x=-16$$

Vydeľte obe strany hodnotou -8.

$$x=2$$

V rovnici 3y+2x=28 dosaďte x za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$3y+2\times 2=28$$

Vynásobte číslo 2 číslom 2.

$$3y+4=28$$

Odčítajte hodnotu 4 od oboch strán rovnice.

$$3y=24$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$y=8$$

Systém je vyriešený.

$$y=8,x=2$$