Vyriešiť {l}{y=3x}{x+y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x } \\ { x + y = 16 } \end{array} \right\}$$

Riešenie pre y,x

$$x=4$$

$$y=12$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 3x z oboch strán.

$$y-3x=0$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej y tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú y.

$$y-3x=0$$

Prirátajte 3x ku obom stranám rovnice.

$$y=3x$$

Dosaďte 3x za y v druhej rovnici y+x=16.

$$3x+x=16$$

Prirátajte 3x ku x.

$$4x=16$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=4$$

V rovnici y=3x dosaďte x za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y=3\times 4$$

Vynásobte číslo 3 číslom 4.

$$y=12$$

Systém je vyriešený.

$$y=12,x=4$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 3x z oboch strán.

$$y-3x=0$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\16\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 16\\\frac{1}{4}\times 16\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\4\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice y a x.

$$y=12,x=4$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Odčítajte 3x z oboch strán.

$$y-3x=0$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$y-3x=0,y+x=16$$

Odčítajte rovnicu y+x=16 od rovnice y-3x=0 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$y-y-3x-x=-16$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-3x-x=-16$$

Prirátajte -3x ku -x.

$$-4x=-16$$

Vydeľte obe strany hodnotou -4.

$$x=4$$

V rovnici y+x=16 dosaďte x za premennú 4. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$y+4=16$$

Odčítajte hodnotu 4 od oboch strán rovnice.

$$y=12$$

Systém je vyriešený.

$$y=12,x=4$$