Vyriešiť {l}{2x-3y=5}{3x-2y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x-3y=5$$

Prirátajte 3y ku obom stranám rovnice.

$$2x=3y+5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+5\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom 3y+5.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}$$

Dosaďte \frac{3y+5}{2} za x v druhej rovnici 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}\right)-2y=5$$

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{3y+5}{2}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{15}{2}-2y=5$$

Prirátajte \frac{9y}{2} ku -2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=5$$

Odčítajte hodnotu \frac{15}{2} od oboch strán rovnice.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{5}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=-1$$

V rovnici x=\frac{3}{2}y+\frac{5}{2} dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{3}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Vynásobte číslo \frac{3}{2} číslom -1.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

Prirátajte \frac{5}{2} ku -\frac{3}{2} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=-1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\times 5+\frac{3}{5}\times 5\\-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=1,y=-1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x-3y=5,3x-2y=5$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 5,2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 5$$

Zjednodušte.

$$6x-9y=15,6x-4y=10$$

Odčítajte rovnicu 6x-4y=10 od rovnice 6x-9y=15 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$6x-6x-9y+4y=15-10$$

Prirátajte 6x ku -6x. Členy 6x a -6x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-9y+4y=15-10$$

Prirátajte -9y ku 4y.

$$-5y=15-10$$

Prirátajte 15 ku -10.

$$-5y=5$$

Vydeľte obe strany hodnotou -5.

$$y=-1$$

V rovnici 3x-2y=5 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x-2\left(-1\right)=5$$

Vynásobte číslo -2 číslom -1.

$$3x+2=5$$

Odčítajte hodnotu 2 od oboch strán rovnice.

$$3x=3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=1$$

Systém je vyriešený.

$$x=1,y=-1$$