Vyriešiť {l}{2x-3y=15}{x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

$$y = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2.6$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x-3y=15$$

Prirátajte 3y ku obom stranám rovnice.

$$2x=3y+15$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+15\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom 15+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}$$

Dosaďte \frac{15+3y}{2} za x v druhej rovnici x+y=1.

$$\frac{3}{2}y+\frac{15}{2}+y=1$$

Prirátajte \frac{3y}{2} ku y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{15}{2}=1$$

Odčítajte hodnotu \frac{15}{2} od oboch strán rovnice.

$$\frac{5}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{5}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=-\frac{13}{5}$$

V rovnici x=\frac{3}{2}y+\frac{15}{2} dosaďte y za premennú -\frac{13}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{13}{5}\right)+\frac{15}{2}$$

Vynásobte zlomok \frac{3}{2} zlomkom -\frac{13}{5} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{15}{2}$$

Prirátajte \frac{15}{2} ku -\frac{39}{10} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{18}{5}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 15+\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}\times 15+\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\\-\frac{13}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x-3y=15,x+y=1$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$2x-3y=15,2x+2y=2$$

Odčítajte rovnicu 2x+2y=2 od rovnice 2x-3y=15 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2x-2x-3y-2y=15-2$$

Prirátajte 2x ku -2x. Členy 2x a -2x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-3y-2y=15-2$$

Prirátajte -3y ku -2y.

$$-5y=15-2$$

Prirátajte 15 ku -2.

$$-5y=13$$

Vydeľte obe strany hodnotou -5.

$$y=-\frac{13}{5}$$

V rovnici x+y=1 dosaďte y za premennú -\frac{13}{5}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x-\frac{13}{5}=1$$

Prirátajte \frac{13}{5} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{18}{5}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{18}{5},y=-\frac{13}{5}$$