Vyriešiť {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+y=6$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$2x=-y+6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -y+6.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

Dosaďte -\frac{y}{2}+3 za x v druhej rovnici 4x-y=7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

Vynásobte číslo 4 číslom -\frac{y}{2}+3.

$$-2y+12-y=7$$

Prirátajte -2y ku -y.

$$-3y+12=7$$

Odčítajte hodnotu 12 od oboch strán rovnice.

$$-3y=-5$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$y=\frac{5}{3}$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+3 dosaďte y za premennú \frac{5}{3}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

Vynásobte zlomok -\frac{1}{2} zlomkom \frac{5}{3} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

Prirátajte 3 ku -\frac{5}{6}.

$$x=\frac{13}{6}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+y=6,4x-y=7$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a 4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

Zjednodušte.

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

Odčítajte rovnicu 8x-2y=14 od rovnice 8x+4y=24 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

Prirátajte 8x ku -8x. Členy 8x a -8x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$4y+2y=24-14$$

Prirátajte 4y ku 2y.

$$6y=24-14$$

Prirátajte 24 ku -14.

$$6y=10$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$y=\frac{5}{3}$$

V rovnici 4x-y=7 dosaďte y za premennú \frac{5}{3}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

Prirátajte \frac{5}{3} ku obom stranám rovnice.

$$4x=\frac{26}{3}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{13}{6}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$