Vyriešiť {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+y=3$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$2x=-y+3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Dosaďte \frac{-y+3}{2} za x v druhej rovnici x-y=1.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

Prirátajte -\frac{y}{2} ku -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{2} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{3}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=\frac{1}{3}$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} dosaďte y za premennú \frac{1}{3}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

Vynásobte zlomok -\frac{1}{2} zlomkom \frac{1}{3} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku -\frac{1}{6} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=\frac{4}{3}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+y=3,x-y=1$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 1 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

Zjednodušte.

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

Odčítajte rovnicu 2x-2y=2 od rovnice 2x+y=3 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

Prirátajte 2x ku -2x. Členy 2x a -2x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$y+2y=3-2$$

Prirátajte y ku 2y.

$$3y=3-2$$

Prirátajte 3 ku -2.

$$3y=1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

V rovnici x-y=1 dosaďte y za premennú \frac{1}{3}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x-\frac{1}{3}=1$$

Prirátajte \frac{1}{3} ku obom stranám rovnice.

$$x=\frac{4}{3}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$