Vyriešiť {l}{2x+y=3}{x+y=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x + y = 5 } \end{array} \right\}$$

Riešenie pre x,y

$$x=-2$$

$$y=7$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+y=3$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$2x=-y+3$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -y+3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

Dosaďte \frac{-y+3}{2} za x v druhej rovnici x+y=5.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=5$$

Prirátajte -\frac{y}{2} ku y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=5$$

Odčítajte hodnotu \frac{3}{2} od oboch strán rovnice.

$$\frac{1}{2}y=\frac{7}{2}$$

Vynásobte obe strany hodnotou 2.

$$y=7$$

V rovnici x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} dosaďte y za premennú 7. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{2}$$

Vynásobte číslo -\frac{1}{2} číslom 7.

$$x=\frac{-7+3}{2}$$

Prirátajte \frac{3}{2} ku -\frac{7}{2} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=-2$$

Systém je vyriešený.

$$x=-2,y=7$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-5\\-3+2\times 5\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-2,y=7$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+y=3,x+y=5$$

Odčítajte rovnicu x+y=5 od rovnice 2x+y=3 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$2x-x+y-y=3-5$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$2x-x=3-5$$

Prirátajte 2x ku -x.

$$x=3-5$$

Prirátajte 3 ku -5.

$$x=-2$$

V rovnici x+y=5 dosaďte x za premennú -2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$-2+y=5$$

Prirátajte 2 ku obom stranám rovnice.

$$y=7$$

Systém je vyriešený.

$$x=-2,y=7$$