Vyriešiť {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x+4y=2060$$

Odčítajte hodnotu 4y od oboch strán rovnice.

$$2x=-4y+2060$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Dosaďte -2y+1030 za x v druhej rovnici 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Vynásobte číslo 5 číslom -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Prirátajte -10y ku 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Odčítajte hodnotu 5150 od oboch strán rovnice.

$$-3y=-3510$$

Vydeľte obe strany hodnotou -3.

$$y=1170$$

V rovnici x=-2y+1030 dosaďte y za premennú 1170. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Vynásobte číslo -2 číslom 1170.

$$x=-2340+1030$$

Prirátajte 1030 ku -2340.

$$x=-1310$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1310,y=1170$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=-1310,y=1170$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a 5x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 5 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Zjednodušte.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Odčítajte rovnicu 10x+14y=3280 od rovnice 10x+20y=10300 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Prirátajte 10x ku -10x. Členy 10x a -10x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$20y-14y=10300-3280$$

Prirátajte 20y ku -14y.

$$6y=10300-3280$$

Prirátajte 10300 ku -3280.

$$6y=7020$$

Vydeľte obe strany hodnotou 6.

$$y=1170$$

V rovnici 5x+7y=1640 dosaďte y za premennú 1170. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Vynásobte číslo 7 číslom 1170.

$$5x+8190=1640$$

Odčítajte hodnotu 8190 od oboch strán rovnice.

$$5x=-6550$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$x=-1310$$

Systém je vyriešený.

$$x=-1310,y=1170$$