Vyriešiť {l}{2m+3n=1}{15/9m-2n=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 1 } \\ { \frac { 15 } { 9 } m - 2 n = 1 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre m,n

$$m=\frac{5}{9}\approx 0.555555556$$

$$n=-\frac{1}{27}\approx -0.037037037$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej m tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú m.

$$2m+3n=1$$

Odčítajte hodnotu 3n od oboch strán rovnice.

$$2m=-3n+1$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+1\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -3n+1.

$$m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}$$

Dosaďte \frac{-3n+1}{2} za m v druhej rovnici \frac{5}{3}m-2n=1.

$$\frac{5}{3}\left(-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2}\right)-2n=1$$

Vynásobte číslo \frac{5}{3} číslom \frac{-3n+1}{2}.

$$-\frac{5}{2}n+\frac{5}{6}-2n=1$$

Prirátajte -\frac{5n}{2} ku -2n.

$$-\frac{9}{2}n+\frac{5}{6}=1$$

Odčítajte hodnotu \frac{5}{6} od oboch strán rovnice.

$$-\frac{9}{2}n=\frac{1}{6}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou -\frac{9}{2}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$n=-\frac{1}{27}$$

V rovnici m=-\frac{3}{2}n+\frac{1}{2} dosaďte n za premennú -\frac{1}{27}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej m vypočítať priamo.

$$m=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{27}\right)+\frac{1}{2}$$

Vynásobte zlomok -\frac{3}{2} zlomkom -\frac{1}{27} tak, že vynásobíte čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom. Ak je to možné, zlomok potom čo najviac vykráťte.

$$m=\frac{1}{18}+\frac{1}{2}$$

Prirátajte \frac{1}{2} ku \frac{1}{18} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$m=\frac{5}{9}$$

Systém je vyriešený.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\\frac{5}{3}&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\\-\frac{\frac{5}{3}}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times \frac{5}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}+\frac{1}{3}\\\frac{5}{27}-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\\-\frac{1}{27}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice m a n.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2m+3n=1,\frac{5}{3}m-2n=1$$

Ak chcete, aby boli členy 2m a \frac{5m}{3} rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom \frac{5}{3} a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$\frac{5}{3}\times 2m+\frac{5}{3}\times 3n=\frac{5}{3},2\times \frac{5}{3}m+2\left(-2\right)n=2$$

Zjednodušte.

$$\frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3},\frac{10}{3}m-4n=2$$

Odčítajte rovnicu \frac{10}{3}m-4n=2 od rovnice \frac{10}{3}m+5n=\frac{5}{3} tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$\frac{10}{3}m-\frac{10}{3}m+5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Prirátajte \frac{10m}{3} ku -\frac{10m}{3}. Členy \frac{10m}{3} a -\frac{10m}{3} sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$5n+4n=\frac{5}{3}-2$$

Prirátajte 5n ku 4n.

$$9n=\frac{5}{3}-2$$

Prirátajte \frac{5}{3} ku -2.

$$9n=-\frac{1}{3}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9.

$$n=-\frac{1}{27}$$

V rovnici \frac{5}{3}m-2n=1 dosaďte n za premennú -\frac{1}{27}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej m vypočítať priamo.

$$\frac{5}{3}m-2\left(-\frac{1}{27}\right)=1$$

Vynásobte číslo -2 číslom -\frac{1}{27}.

$$\frac{5}{3}m+\frac{2}{27}=1$$

Odčítajte hodnotu \frac{2}{27} od oboch strán rovnice.

$$\frac{5}{3}m=\frac{25}{27}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{5}{3}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$m=\frac{5}{9}$$

Systém je vyriešený.

$$m=\frac{5}{9},n=-\frac{1}{27}$$