Vyriešiť {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2ax+by=14$$

Odčítajte hodnotu by od oboch strán rovnice.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2a} číslom -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Dosaďte \frac{-by+14}{2a} za x v druhej rovnici -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Vynásobte číslo -2 číslom \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Prirátajte \frac{by}{a} ku 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Prirátajte \frac{14}{a} ku obom stranám rovnice.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

V rovnici x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} dosaďte y za premennú \frac{14-19a}{9a+b}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Vynásobte číslo -\frac{b}{2a} číslom \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Prirátajte \frac{7}{a} ku -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Ak chcete, aby boli členy 2ax a -2x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -2 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Zjednodušte.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Odčítajte rovnicu \left(-4a\right)x+18ay=-38a od rovnice \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Prirátajte -4ax ku 4ax. Členy -4ax a 4ax sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Prirátajte -2by ku -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Prirátajte -28 ku 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

V rovnici -2x+9y=-19 dosaďte y za premennú -\frac{-14+19a}{b+9a}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Vynásobte číslo 9 číslom -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Prirátajte \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ku obom stranám rovnice.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Riešenie pre x,y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2ax+by=14$$

Odčítajte hodnotu by od oboch strán rovnice.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2a} číslom -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Dosaďte \frac{-by+14}{2a} za x v druhej rovnici -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Vynásobte číslo -2 číslom \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Prirátajte \frac{by}{a} ku 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Prirátajte \frac{14}{a} ku obom stranám rovnice.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Vydeľte obe strany hodnotou 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

V rovnici x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a} dosaďte y za premennú \frac{14-19a}{9a+b}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Vynásobte číslo -\frac{b}{2a} číslom \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Prirátajte \frac{7}{a} ku -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Ak chcete, aby boli členy 2ax a -2x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom -2 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Zjednodušte.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Odčítajte rovnicu \left(-4a\right)x+18ay=-38a od rovnice \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Prirátajte -4ax ku 4ax. Členy -4ax a 4ax sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Prirátajte -2by ku -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Prirátajte -28 ku 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

V rovnici -2x+9y=-19 dosaďte y za premennú -\frac{-14+19a}{b+9a}. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Vynásobte číslo 9 číslom -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Prirátajte \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} ku obom stranám rovnice.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Vydeľte obe strany hodnotou -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$