Vyriešiť {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=0$$

$$y=1$$

Postup použitia dosadenia

Zvážte prvú rovnicu. Na rozloženie výrazu \left(x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Sčítaním 4 a 1 získate 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$4x+5=5y$$

Odčítajte 5y z oboch strán.

$$4x+5-5y=0$$

Odčítajte 5 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$4x-5y=-5$$

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$4x-5y=-5$$

Prirátajte 5y ku obom stranám rovnice.

$$4x=5y-5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{4} číslom -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Dosaďte \frac{-5+5y}{4} za x v druhej rovnici 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Vynásobte číslo 3 číslom \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Prirátajte \frac{15y}{4} ku y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Prirátajte \frac{15}{4} ku obom stranám rovnice.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Vydeľte obe strany rovnice hodnotou \frac{19}{4}, čo je to isté ako pri vynásobení oboch strán prevráteným zlomkom.

$$y=1$$

V rovnici x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4} dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Prirátajte -\frac{5}{4} ku \frac{5}{4} zistením spoločného menovateľa a sčítaním čitateľov. Potom vykráťte zlomok na jeho základný tvar, ak je to možné.

$$x=0$$

Systém je vyriešený.

$$x=0,y=1$$

Postup použitia matíc

Zvážte prvú rovnicu. Na rozloženie výrazu \left(x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Sčítaním 4 a 1 získate 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$4x+5=5y$$

Odčítajte 5y z oboch strán.

$$4x+5-5y=0$$

Odčítajte 5 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$4x-5y=-5$$

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=0,y=1$$

Postup použitia eliminácie

Zvážte prvú rovnicu. Na rozloženie výrazu \left(x+2\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Sčítaním 4 a 1 získate 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Odčítajte x^{2} z oboch strán.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Skombinovaním x^{2} a -x^{2} získate 0.

$$4x+5=5y$$

Odčítajte 5y z oboch strán.

$$4x+5-5y=0$$

Odčítajte 5 z oboch strán. Výsledkom odčítania čísla od nuly je jeho záporná hodnota.

$$4x-5y=-5$$

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Ak chcete, aby boli členy 4x a 3x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 3 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Zjednodušte.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Odčítajte rovnicu 12x+4y=4 od rovnice 12x-15y=-15 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Prirátajte 12x ku -12x. Členy 12x a -12x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-15y-4y=-15-4$$

Prirátajte -15y ku -4y.

$$-19y=-15-4$$

Prirátajte -15 ku -4.

$$-19y=-19$$

Vydeľte obe strany hodnotou -19.

$$y=1$$

V rovnici 3x+y=1 dosaďte y za premennú 1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$3x+1=1$$

Odčítajte hodnotu 1 od oboch strán rovnice.

$$3x=0$$

Vydeľte obe strany hodnotou 3.

$$x=0$$

Systém je vyriešený.

$$x=0,y=1$$