Vyriešiť {c}{x+y=5}{-3x+y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + y = 5 } \\ { - 3 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x=2$$

$$y=3$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$x+y=5$$

Odčítajte hodnotu y od oboch strán rovnice.

$$x=-y+5$$

Dosaďte -y+5 za x v druhej rovnici -3x+y=-3.

$$-3\left(-y+5\right)+y=-3$$

Vynásobte číslo -3 číslom -y+5.

$$3y-15+y=-3$$

Prirátajte 3y ku y.

$$4y-15=-3$$

Prirátajte 15 ku obom stranám rovnice.

$$4y=12$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$y=3$$

V rovnici x=-y+5 dosaďte y za premennú 3. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=-3+5$$

Prirátajte 5 ku -3.

$$x=2$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=3$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-3\right)}&-\frac{1}{1-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-3\right)}&\frac{1}{1-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=2,y=3$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$x+y=5,-3x+y=-3$$

Odčítajte rovnicu -3x+y=-3 od rovnice x+y=5 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$x+3x+y-y=5+3$$

Prirátajte y ku -y. Členy y a -y sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$x+3x=5+3$$

Prirátajte x ku 3x.

$$4x=5+3$$

Prirátajte 5 ku 3.

$$4x=8$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=2$$

V rovnici -3x+y=-3 dosaďte x za premennú 2. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej y vypočítať priamo.

$$-3\times 2+y=-3$$

Vynásobte číslo -3 číslom 2.

$$-6+y=-3$$

Prirátajte 6 ku obom stranám rovnice.

$$y=3$$

Systém je vyriešený.

$$x=2,y=3$$