Vyriešiť {c}{2x-y=4}{4x+3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - y = 4 } \\ { 4 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Riešenie pre x,y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

Postup použitia dosadenia

Ak chcete dvojicu rovníc riešiť pomocou dosádzania, najskôr vyriešte jednu premennú v jednej z rovníc. Výsledok tejto premennej potom dosaďte do druhej rovnice.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Vyberte jednu z rovníc a vypočítajte hodnotu premennej x tak, že na ľavej strane rovnice budete mať len premennú x.

$$2x-y=4$$

Prirátajte y ku obom stranám rovnice.

$$2x=y+4$$

Vydeľte obe strany hodnotou 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Dosaďte \frac{y}{2}+2 za x v druhej rovnici 4x+3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y+2\right)+3y=3$$

Vynásobte číslo 4 číslom \frac{y}{2}+2.

$$2y+8+3y=3$$

Prirátajte 2y ku 3y.

$$5y+8=3$$

Odčítajte hodnotu 8 od oboch strán rovnice.

$$5y=-5$$

Vydeľte obe strany hodnotou 5.

$$y=-1$$

V rovnici x=\frac{1}{2}y+2 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

Vynásobte číslo \frac{1}{2} číslom -1.

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

Prirátajte 2 ku -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Postup použitia matíc

Matice prepíšte do štandardného tvaru a pomocou matíc potom vyriešte sústavu rovníc.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Napíšte rovnice v tvare matíc.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte rovnicu zľava inverznou maticou matice \left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Súčinom matice s jej inverznou maticou vznikne jednotková matica.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice na ľavej strane znamienka rovnosti.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Inverznou maticou matice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je matica \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), maticovú rovnicu preto možno prepísať ako násobenie matíc.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Vynásobte matice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 4+\frac{1}{10}\times 3\\-\frac{2}{5}\times 4+\frac{1}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Počítajte.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrahujte prvky matice x a y.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

Postup použitia eliminácie

Ak chcete rovnicu vyriešiť elimináciou, koeficienty jednej z premenných musia byť v obidvoch rovniciach rovnaké, aby sa pri odčítaní jednej rovnice od druhej premenná vykrátila.

$$2x-y=4,4x+3y=3$$

Ak chcete, aby boli členy 2x a 4x rovnaké, všetky členy na oboch stranách prvej rovnice vynásobte číslom 4 a všetky členy na oboch stranách druhej rovnice číslom 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4,2\times 4x+2\times 3y=2\times 3$$

Zjednodušte.

$$8x-4y=16,8x+6y=6$$

Odčítajte rovnicu 8x+6y=6 od rovnice 8x-4y=16 tak, že odčítate rovnaké členy na každej strane rovnice.

$$8x-8x-4y-6y=16-6$$

Prirátajte 8x ku -8x. Členy 8x a -8x sa vykrátia, pričom sa rovnica ponechá len s jednou premennou, ktorú je možné vyriešiť.

$$-4y-6y=16-6$$

Prirátajte -4y ku -6y.

$$-10y=16-6$$

Prirátajte 16 ku -6.

$$-10y=10$$

Vydeľte obe strany hodnotou -10.

$$y=-1$$

V rovnici 4x+3y=3 dosaďte y za premennú -1. Keďže výsledná rovnica obsahuje len jednu premennú, môžete hodnotu premennej x vypočítať priamo.

$$4x+3\left(-1\right)=3$$

Vynásobte číslo 3 číslom -1.

$$4x-3=3$$

Prirátajte 3 ku obom stranám rovnice.

$$4x=6$$

Vydeľte obe strany hodnotou 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Systém je vyriešený.

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$