Vyriešiť ∫ (from 2 to 4) of (x+sqrt{x}) wrt x

$$\int_{ 2 }^{ 4 } (x+ \sqrt{ x } ) d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{34-4\sqrt{2}}{3}\approx 9,44771525$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Zapíšte \sqrt{x} ako výraz x^{\frac{1}{2}}. Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x s \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Zjednodušte.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{2^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 2^{\frac{3}{2}}\right)$$

Zjednodušte.

$$\frac{34-4\sqrt{2}}{3}$$