Vyriešiť ∫ (from 0 to 3) of xleft(x-2right)left(x+3right) wrt x

$$\int_{ 0 }^{ 3 } x \left( x-2 \right) \left( x+3 \right) d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{9}{4}=2,25$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x-2.

$$\int _{0}^{3}\left(x^{2}-2x\right)\left(x+3\right)\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu x^{2}-2x každým členom výrazu x+3.

$$\int _{0}^{3}x^{3}+3x^{2}-2x^{2}-6x\mathrm{d}x$$

Skombinovaním 3x^{2} a -2x^{2} získate x^{2}.

$$\int _{0}^{3}x^{3}+x^{2}-6x\mathrm{d}x$$

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int x^{3}+x^{2}-6x\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x+\int -6x\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x-6\int x\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x-6\int x\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-6\int x\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo -6 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}-3x^{2}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{3^{4}}{4}+\frac{3^{3}}{3}-3\times 3^{2}-\left(\frac{0^{4}}{4}+\frac{0^{3}}{3}-3\times 0^{2}\right)$$

Zjednodušte.

$$\frac{9}{4}$$