Vyriešiť ∫ 3left(sqrt{x}-sqrt[3]{x^2}+sqrt[5]{2}right) wrt x

$$\int{ 3 \left( \sqrt{ x } - \sqrt[ 3 ]{ { x }^{ 2 } } + \sqrt[ 5 ]{ 2 } \right) }d x$$

Vyhodnotiť

$$-\frac{9x^{\frac{5}{3}}}{5}+2x^{\frac{3}{2}}+3\sqrt[5]{2}x+С$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3 a \sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[5]{2}.

$$\int 3\left(\sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{2}}\right)+3\sqrt[5]{2}\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie 3 a \sqrt{x}-\sqrt[3]{x^{2}}.

$$\int 3\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x^{2}}+3\sqrt[5]{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 3\sqrt{x}\mathrm{d}x+\int -3x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+\int 3\sqrt[5]{2}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$3\int \sqrt{x}\mathrm{d}x-3\int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+3\int \sqrt[5]{2}\mathrm{d}x$$

Zapíšte \sqrt{x} ako výraz x^{\frac{1}{2}}. Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x s \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}. Zjednodušte. Vynásobte číslo 3 číslom \frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}.

$$2x^{\frac{3}{2}}-3\int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x+3\int \sqrt[5]{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{\frac{2}{3}}\mathrm{d}x s \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}. Vynásobte číslo -3 číslom \frac{3x^{\frac{5}{3}}}{5}.

$$2x^{\frac{3}{2}}-\frac{9x^{\frac{5}{3}}}{5}+3\int \sqrt[5]{2}\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál \sqrt[5]{2} pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$2x^{\frac{3}{2}}-\frac{9x^{\frac{5}{3}}}{5}+3\sqrt[5]{2}x$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$2x^{\frac{3}{2}}-\frac{9x^{\frac{5}{3}}}{5}+3\sqrt[5]{2}x+С$$

Derivovať podľa x

$$3\left(-x^{\frac{2}{3}}+\sqrt{x}+\sqrt[5]{2}\right)$$