Vyriešiť ∫ x(x+1)^2

$$\int x ( x + 1 ) ^ { 2 }$$

Vyhodnotiť

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(x+1\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int x\left(x^{2}+2x+1\right)\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a x^{2}+2x+1.

$$\int x^{3}+2x^{2}+x\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int x^{3}\mathrm{d}x+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{4}+2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 2 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\int x\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{4}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Zjednodušte.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+С$$

Derivovať podľa x

$$x\left(x+1\right)^{2}$$