Vyriešiť ∫ x(2+x^2)^2 wrt x

$$\int x ( 2 + x ^ { 2 } ) ^ { 2 } d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(2+x^{2}\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int x\left(4+4x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 2 a 2 dostanete 4.

$$\int x\left(4+4x^{2}+x^{4}\right)\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x a 4+4x^{2}+x^{4}.

$$\int 4x+4x^{3}+x^{5}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 4x\mathrm{d}x+\int 4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$4\int x\mathrm{d}x+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 4 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$2x^{2}+4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 4 číslom \frac{x^{4}}{4}.

$$2x^{2}+x^{4}+\int x^{5}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{5}\mathrm{d}x s \frac{x^{6}}{6}.

$$2x^{2}+x^{4}+\frac{x^{6}}{6}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{x^{6}}{6}+x^{4}+2x^{2}+С$$

Derivovať podľa x

$$x\left(x^{2}+2\right)^{2}$$