Vyriešiť ∫ x^2(x+1)^3 wrt x

$$\int x ^ { 2 } ( x + 1 ) ^ { 3 } d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{3x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(x+1\right)^{3} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.

$$\int x^{2}\left(x^{3}+3x^{2}+3x+1\right)\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x^{2} a x^{3}+3x^{2}+3x+1.

$$\int x^{5}+3x^{4}+3x^{3}+x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+\int 3x^{4}\mathrm{d}x+\int 3x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$\int x^{5}\mathrm{d}x+3\int x^{4}\mathrm{d}x+3\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{5}\mathrm{d}x s \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{x^{6}}{6}+3\int x^{4}\mathrm{d}x+3\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{4}\mathrm{d}x s \frac{x^{5}}{5}. Vynásobte číslo 3 číslom \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}+3\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{3}\mathrm{d}x s \frac{x^{4}}{4}. Vynásobte číslo 3 číslom \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{3x^{4}}{4}+\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{6}}{6}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{3x^{4}}{4}+\frac{x^{3}}{3}$$

Zjednodušte.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{x^{6}}{6}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{x^{3}}{3}+\frac{3x^{4}}{4}+\frac{3x^{5}}{5}+\frac{x^{6}}{6}+С$$

Derivovať podľa x

$$x^{2}\left(x+1\right)^{3}$$