Vyriešiť ∫ x^2(2x^3+4)^2 wrt x

$$\int x ^ { 2 } ( 2 x ^ { 3 } + 4 ) ^ { 2 } d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{16x^{3}}{3}+С$$

Postup riešenia

Na rozloženie výrazu \left(2x^{3}+4\right)^{2} použite binomickú vetu \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\int x^{2}\left(4\left(x^{3}\right)^{2}+16x^{3}+16\right)\mathrm{d}x$$

Ak chcete umocniť už umocnené číslo, vynásobte mocnitele. Vynásobením čísel 3 a 2 dostanete 6.

$$\int x^{2}\left(4x^{6}+16x^{3}+16\right)\mathrm{d}x$$

Použite distributívny zákon na vynásobenie x^{2} a 4x^{6}+16x^{3}+16.

$$\int 4x^{8}+16x^{5}+16x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 4x^{8}\mathrm{d}x+\int 16x^{5}\mathrm{d}x+\int 16x^{2}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$4\int x^{8}\mathrm{d}x+16\int x^{5}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{8}\mathrm{d}x s \frac{x^{9}}{9}. Vynásobte číslo 4 číslom \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{4x^{9}}{9}+16\int x^{5}\mathrm{d}x+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{5}\mathrm{d}x s \frac{x^{6}}{6}. Vynásobte číslo 16 číslom \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+16\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo 16 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{9}}{9}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{16x^{3}}{3}$$

Zjednodušte.

$$\frac{16x^{3}}{3}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{4x^{9}}{9}$$

Ak F\left(x\right) je neurčitý integrál f\left(x\right), a potom je množina všetkých antiderivatives f\left(x\right) F\left(x\right)+C. Preto pridajte konštanta integrácie C\in \mathrm{R} na výsledok.

$$\frac{16x^{3}}{3}+\frac{8x^{6}}{3}+\frac{4x^{9}}{9}+С$$

Derivovať podľa x

$$4\left(x\left(x^{3}+2\right)\right)^{2}$$