Vyriešiť ∫ (from a to x) of x*f(t)dt

$$\int _ { a } ^ { x } x \cdot f ( t ) d t$$

Vyhodnotiť

$$\frac{fx\left(x^{2}-a^{2}\right)}{2}$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int xft\mathrm{d}t$$

Na vyčlenenie konštanty použite \int af\left(t\right)\mathrm{d}t=a\int f\left(t\right)\mathrm{d}t.

$$xf\int t\mathrm{d}t$$

Keďže \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int t\mathrm{d}t s \frac{t^{2}}{2}.

$$xf\times \frac{t^{2}}{2}$$

Zjednodušte.

$$\frac{xft^{2}}{2}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$\frac{1}{2}xfx^{2}-\frac{1}{2}xfa^{2}$$

Zjednodušte.

$$\frac{xf\left(x-a\right)\left(x+a\right)}{2}$$

Derivovať podľa x

$$\frac{3fx^{2}-fa^{2}}{2}$$