Vyriešiť ∫ (from 1 to 5) of (1-x)(x-5) wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 1 - x ) ( x - 5 ) d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{32}{3}\approx 10,666666667$$

Postup riešenia

Použite distributívny zákon a vynásobte každý člen výrazu 1-x každým členom výrazu x-5.

$$\int _{1}^{5}x-5-x^{2}+5x\mathrm{d}x$$

Skombinovaním x a 5x získate 6x.

$$\int _{1}^{5}6x-5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int 6x-5-x^{2}\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int 6x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x+\int -x^{2}\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$6\int x\mathrm{d}x+\int -5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 6 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$3x^{2}+\int -5\mathrm{d}x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál -5 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$3x^{2}-5x-\int x^{2}\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$3x^{2}-5x-\frac{x^{3}}{3}$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$3\times 5^{2}-5\times 5-\frac{5^{3}}{3}-\left(3\times 1^{2}-5-\frac{1^{3}}{3}\right)$$

Zjednodušte.

$$\frac{32}{3}$$