Vyriešiť ∫ (from 1 to 3) of -x^2+2x+3 wrt x

$$\int _ { 1 } ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 2 x + 3 d x$$

Vyhodnotiť

$$\frac{16}{3}\approx 5,333333333$$

Postup riešenia

Najskôr vyhodnoťte neurčitý integrál.

$$\int -x^{2}+2x+3\mathrm{d}x$$

Integrujte súčet podľa výrazov.

$$\int -x^{2}\mathrm{d}x+\int 2x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Vyčleňte konštantu v každom z výrazov.

$$-\int x^{2}\mathrm{d}x+2\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x^{2}\mathrm{d}x s \frac{x^{3}}{3}. Vynásobte číslo -1 číslom \frac{x^{3}}{3}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+2\int x\mathrm{d}x+\int 3\mathrm{d}x$$

Keďže \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} pre k\neq -1, nahraďte \int x\mathrm{d}x s \frac{x^{2}}{2}. Vynásobte číslo 2 číslom \frac{x^{2}}{2}.

$$-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+\int 3\mathrm{d}x$$

Nájdite integrál 3 pomocou tabuľky bežných integrály pravidiel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$-\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+3x$$

Určitý integrál je neurčitým integrálom výrazu vyhodnoteného ako horná limita integrálu mínus neurčitý integrál vyhodnotený ako spodná limita integrálu.

$$-\frac{3^{3}}{3}+3^{2}+3\times 3-\left(-\frac{1^{3}}{3}+1^{2}+3\times 1\right)$$

Zjednodušte.

$$\frac{16}{3}$$